Begay, 11 Ocak 1954'te Tuba City, Arizona'da doğdu. Navajo bölgesinde büyüdü ve burada ebeveynlerinden ve büyükanne ve büyükbabasından geleneksel Navajo kültürünü öğrendi. Küçük yaşta çizim ve resim yapmaya başlayan Begay, kısa sürede sanata yeteneğinin olduğunu fark etti.
Begay, liseden mezun olduktan sonra New Mexico, Santa Fe'deki Amerikan Kızılderili Sanatları Enstitüsü'nde sanat eğitimi aldı. Daha sonra Arizona Üniversitesi'ne gitti ve burada Güzel Sanatlar Lisans derecesini aldı.
Begay'ın resimleri Navajo törenleri, ritüeller ve günlük yaşam gibi çeşitli konuları tasvir ediyor. Çalışmaları canlı renkler, karmaşık desenler ve güçlü maneviyat duygusuyla karakterize edilir. Begay'ın resimleri güzellikleri, kültürel önemleri ve Navajo yaşamının özünü yakalama yetenekleri nedeniyle övgüyle karşılandı.
Begay'ın çalışmaları aralarında Smithsonian Enstitüsü, Heard Müzesi ve Modern Sanat Müzesi'nin de bulunduğu dünya çapındaki müze ve galerilerde sergilendi. Ayrıca Ulusal Sanat Vakfı Vakfı, Arizona Valisi Sanat Ödülü ve Kızılderili Sanat Ödülleri de dahil olmak üzere çok sayıda ödül aldı.
Begay'ın çalışmaları izleyicilere Navajo kültürü hakkında ilham vermeye ve onları eğitmeye devam ediyor. Kendi neslinin en önemli Kızılderili sanatçılarından biri olarak kabul ediliyor.
Begay, 17 Ağustos 2012'de Arizona'nın Tuba şehrinde kanserden öldü. 58 yaşındaydı.