Saint Vincent'ın Bequia adasında doğdu ve sömürge döneminde ilkokul eğitimi aldı. 1930'da Palmer, Londra'daki ortaokula gitmek için burs aldı. Ek burslarla Birmingham Üniversitesi'nde tıp okumaya devam etti ve 1941'de mezun oldu.
Batı Hint Adaları'na döndü ve Jamaika, Trinidad ve Tobago ve Saint Lucia'da çalıştı. 1950'de Palmer antrenman yapmak için Saint Vincent'a döndü. Palmer, 1954'te Halkın Siyasi Partisi'ni (PPP) kurdu ve Yasama Konseyi'ne yasa koyucu olarak seçildi. 1967'de Başbakan seçildi.
1979'da Palmer, Saint Vincent ve Grenadinler'in Birleşik Krallık'tan bağımsızlığını kazanmasına öncülük etti. Aynı yıl Kraliçe II. Elizabeth tarafından şövalye unvanına layık görüldü.
1984'te Palmer siyasetten emekli oldu ve yerine James Fitz-Allen Mitchell geçti. 92. doğum gününde hayatını kaybetti.